Ondes acoustiques

Qu'est-ce qu'une onde ?

Transport d'énergie sans transport de matière

Description mathématique

Une déformation se déplace sans se déformer

Une fonction de deux variables (espace et temps) couplées :
\[ \xi(x,t) = \xi(x-ct) \qquad\left\{\xi(x+ct)\;\textrm{si}\; \vec c= -c \vec u_x \right\} \]

Vu par le mathématicien

Existe-t-il une équation dont la solution est de la forme : $$A\xi(x-ct)+B\xi(x+ct)$$

l'équation de d'Alembert ! $$\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} =0 $$

Analyse dimensionnelle : $$ \frac{[\xi]}{[T]^2}-[c]^2\frac{[\xi]}{[L]^2} \;\to\; [c]=\frac{[L]}{[T]}$$

La célérité \(c\) a bien les dimensions d'une vitesse.

Vu par la physicien

la corde vibrante

Newton P.F.D. \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=0\)

• On s'intéresse au mouvement suivant l'axe \(x\) d'un petit segment de longueur \(\Delta z\).
• Il existe une tension (une force) \(T_0\) dans la corde. Cette tension se transmet "de proche en proche", et chaque petit segment \(\Delta z\) la subit.

• On déforme maintenant la corde et on cherche à écrire la déformation \(\xi (z,t)\).
• Quelles sont les forces appliqueés ? Il s'agit des projetions sur l'axe \(x\) des tensions. $$F_x(t)=T_2 \sin \theta_2 - T_1 \sin \theta_1 $$

Si les angles sont petits : \(\displaystyle \sin \theta_{1,2} \approx \tan\theta_{1,2} = \left.\frac{\partial \xi} {\partial z}\right| _{z=z_1,z=z_2}\)

et si la corde ne se déforme pas : \(\displaystyle T_2 \approx T_1 \equiv T_0 \)

et donc : \(\displaystyle F_x(t)= T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_2} -T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_1}= T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}\)

Il faut d'appliquer la seconde loi de Newton : \(\vec F = m\vec a\). $$ \xi\to\textrm{déplacement}\; ;\; \frac{\partial \xi}{\partial t}\to\underbrace{\textrm{vitesse}}_{\neq \textrm{célérité !}} \; ;\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\to \textrm{accélération} $$

La masse linéïque (masse par unité de longueur) \(\rho\) permet d'exprimer la masse \(m\) du segment : \(m=\rho\Delta z\) $$F_x(t)= ma \to T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} = \rho \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \;\to\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} - \frac{\rho}{T_0} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} =0$$

• C'est l'équation d'onde ;
• \(c\) est la célérité de l'onde, c'est bien une grandeur homogène à une vitesse \[c=\sqrt{\frac{T_0}{\rho}} \;\to\; \sqrt{\frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}]}} = [LT^{-1}] \]
• et ne dépend que des propriétés mécaniques du milieu

Vu par le physicien

onde de pression dans un tuyau

P.F.D + élasticité ... \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}=0\)

Démonstration : Dynamique

La déformation \(\xi\) est fonction du temps \(t\) et de la position \(x\), de la forme : \(\xi(x,t) = f(x-ct)\).
On définit :

$$ F=ma \quad\to\quad S \underbrace{\left[p(x) - p(x+\Delta x) \right]}_{=-\frac{\partial p}{\partial x} \Delta x} = \rho S \Delta x \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} $$ \[ -\frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} \quad\to\quad \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0\]

Conservation de la masse

\[ \rho V = \rho_0 V_0 \;\to\; \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_0}{V} = \frac{S\Delta x}{S\Delta x \left[1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \right]} \] \[ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1}{1+\frac{\partial \xi}{\partial x} } = 1-\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; -\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\rho-\rho_0}{\rho_0} = \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \]

ou \[ \frac{V}{V_0} = 1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; \frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{V-V_0}{V_0} = \frac{\Delta V}{V_0} \]

Élasticité : Loi de Hooke

La description qui prend en compte la géométrie 3D relie linéairement la pression à la variation relative de volume : $$ p = cste \cdot \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; p = -\frac{1}{\chi} \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p $$

Dans le cas qui nous intéresse, \(\chi\) est la compressibilité adiabatique.

• dynamique : \(\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 \)
• élasticité : \(\displaystyle \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p \)
• continuïté : \(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\Delta V}{V_0} \)

\begin{align*} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2} \frac{\partial \xi}{\partial x} = 0 & \\ \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{\Delta V}{V_0} \right] = 0 & \to \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} -{\chi\rho}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0 \end{align*}

• C'est l'équation d'onde ;
• \(c\) est la célérité de l'onde, c'est bien une grandeur homogène à une vitesse \[c=\frac{1}{\sqrt{\rho\chi}} \;\to\; \frac{1}{\sqrt{\frac{[ML^{-3}]}{[ML^{-1}T^{-2}]}}} = [LT^{-1}] \]
• et ne dépend que des propriétés mécaniques du milieu

Ondes électromagnétiques ?

\begin{align} \vec \nabla \cdot \vec E &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \vec \nabla \cdot \vec B &= 0 \\ \vec \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\ \vec \nabla \times \vec B &= \mu_0 \vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \\ \end{align}

$$-\nabla^2 \vec E +\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$$ $$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$

Fonctions trigonométriques

Trig functions (sine, cosine) are solution to d'Alembert's equation.

In the form : $$\xi(x,t)= A\cos(kx \pm \omega t+ \phi ) $$ with : \(\displaystyle c=\frac{\omega}{k}\)

Vérification : \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial }{\partial t} A \cos(\omega t - kx + \varphi) \right] - c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial }{\partial x}A\cos(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\ \frac{\partial}{\partial t}\left[-\omega A\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] - c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[kA\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\ -\omega^2 A\cos(\omega t - kx + \varphi) + c^2k^2A\cos(\omega t - kx + \varphi) &= 0 \;\to\; c=\frac{\omega}{k} \end{align*}

Space (\(\lambda\)) and time (\(T\)) periodicity are explicited : $$\cos\left(2\pi\left(\frac{x}{\lambda} \pm \frac{t}{T}\right)+ \phi \right )$$ $$k=\frac{2\pi}{\lambda} \; ; \; \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \quad\to \quad c=f\lambda$$

Onde en notation complexe

The EM field \(E(x,t)\)is written in complex notation : \begin{align*} E=A\cos(kx \pm \omega t + \phi) & = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j(kx \pm \omega t + \phi)}\right\} \\ & = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j\phi}e ^{j(kx \pm \omega t)}\right\} \\ & = \Re\left\{\tilde E =\tilde Ae ^{j(kx \pm \omega t)}\right\} \end{align*}

Note: Physical (measurable) quantites can only be expressed with real numbers.

Attention au caractère linéaire

Cette approche fonctionne tant que l'on s'en tient à des opérations linéaires : $$\Re\{ a z_1 + z_2\} = a \Re z_1 + \Re z_2 $$ $$ \Re\{ z'\} = (\Re z )' $$ mais : $$\Re\{ z_1 \times z_2\} \neq \Re z_1 \times \Re z_2 $$

Amplitude et Phase

Onde plane propagative

For example, a sound wave : $$f=1000\,{\rm Hz} \; ;\; c=330\,{\rm m.s^{-1}} \quad\to\; \lambda = 0,33\,\textrm{m}$$

Onde propagative : "phaseur"

Ondes en 2 et 3 dimensions

En 2D (ou 3D) le lieu, courbe (ou surface), de "même phase" est appelé front d'onde

Vecteur d'onde

Le vecteur d'onde indique la direction et sens de propagation de l'onde.

Pour l'onde "localement plane" : $$ \vec k\cdot \vec r = \rm{cst} $$

Le vecteur d'onde est normal au front d'onde

Energie

Onde "de déplacement"

Onde "de vitesse"

On peut aussi établir l’équation pour décrire l’évolution spatio-temporelle de la vitesse de déplacement de la perturbation :

$$u(z,t) = \frac{\partial \xi}{\partial t} \quad\to\quad \frac{\partial p}{\partial z} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 = \frac{\partial p}{\partial z} + \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$

$$\frac{\partial}{\partial z}\left[-\frac{1}{\chi}\frac{\Delta V}{V_0}\right]+\rho\frac{\partial u}{\partial t} = 0 = \frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{\partial \xi}{\partial z}\right]-\chi\rho\frac{\partial u}{\partial t}$$

$$\frac{\partial^2}{\partial z^2}\frac{\partial \xi}{\partial t}-\chi\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \underbrace{0 = \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-\chi\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}}_{\textrm{équation de d'Alembert}}$$

Relation pression vitesse

La dépendance spatio-temporelle des trois quantité déplacement, vitesse et pression est déterminée par l'équation de d'Alemebert. Les trois sont décrites par des ondes (ayant la même célérité).

A partir des solution trigonométriques : $$ \tilde p = P_0 e^{j(\omega t -kz)} \quad \tilde u = U_0 e^{j(\omega t -kz)} $$

et du P.F.D. : $$ \frac{\partial p}{\partial z} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = \frac{\partial p}{\partial z} + \rho \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $$

$$ -jk P_0 e^{j(\omega t -kz)} = -\rho j\omega U_0 e^{j(\omega t -kz)} \quad\to\; P_0=\rho c U_0 $$

Sens de propagation

La vitesse est un vecteur.
Dans notre description à une dimension le changement de sens du vecteur correspond à un changement de signe.

ou encore : $$ \tilde u = U_0 e^{j(\omega t \mathbf{+} kz)} $$

Impédance caractéristique

On appelle impédance caractéristique, \(Z\), le rapport entre la pression en un point à un instant donné \(p(z,t)\) et la vitesse (en valeur absolue) en ce même point au même instant \(u(z,t)\) : $$ p = \rho c u = Zu $$

Cette impédance décrit la « résistance » qu’un milieu oppose à sa mise en mouvement lorsqu’il est traversé par une une onde acoustique. Elle ne dépend que des propriétés mécaniques du milieu : $$ Z = \rho c = \rho \frac{1}{\sqrt{\chi \rho}} = \sqrt{\frac{\rho}{\chi}}$$

encore ici attention au sens de propagation

Énergie

Élasticité : $$ \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p \;\to\; \Delta V = -V_0\chi p \;\to\; dV = - V_0\chi dp $$

et donc : $$ E_p = -\int_{V_0}^V pdV = V_0\chi \int_{V_0}^V pdp = \frac{1}{2}V_0 \chi p ^2 $$

enfin : $$ E = \frac{1}{2}V_0 \left[\rho u^2 + \chi p ^2\right] $$

Densité totale d'énergie

Énergie totale par unité de volume : $$ e = \frac{E}{V_0} = \frac{1}{2} \left[\rho u^2 + chi p^2\right] \, \textrm{J.m}^{-3} $$

avec la définition de l'impédance caractéristique : $$ p = Zu = \sqrt{\frac{\rho}{\chi}} = \rho c u $$
$$ e = \frac{1}{2} \left[\rho u^2 + chi p^2\right] = \chi p^2 = \rho u^2 = \frac{pu}{c} $$

• Les densités d'énergie (les énergies) cinétique et potentielle sont égales ;
• La densité d'énergie (l'énergie) total n'est pas constante dans l'espace et le temps.

Intensité acoustique

L’intensité acoustique est le taux moyen d’énergie (la valeur moyenne de l’énergie par unité de temps) traversant une surface unitaire (S=1m\(^{2}\) perpendiculaire à la direction de propagation : $$ [I] = \frac{[E]}{[T][L^2]} = J.s^{-1}.m^{-2} = W. m^{-2} $$

$$ \underbrace{dW = F d\xi}_{E = \textrm{travail}} \;\to\; \frac{dW}{S} = p d\xi \;\to\; \frac{dW}{Sdt} = p \frac{d\xi }{dt} = pu $$

donc : $$ I = \langle pu \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T p(z,t)u(z,t)dt $$

Comme il s’agit d’une opération nonlinéaire, il faut utiliser la notation réelle :

$$ I = P_0U_0 \underbrace{\frac{1}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t -kz) dt}_{\frac{1}{2}} = \frac{P_0U_0}{2} $$

avec la définition de l'impédance caractéristique : $$ I = \frac{P_0U_0}{2} = \frac{P_0^2}{2Z} = \frac{ZU_0^2}{2}$$

Niveau Sonore en dB

L’oreille est sensible à une large gamme de pressions acoustiques (d’intensités acoustiques). On utilise une échelle logarithmique : le décibel

• Unité logarithmique donc sans dimensions ;
• Mesure par rapport à une intensité de référence : \(I_{ref} = 10^{-12}\,\textrm{W.m}^{-2}\) $$ I_{dB} = 10 \log_{10}\frac{I}{I_{ref}} $$
• ou à une pression de référence, dans l'air : \(p_{ref} = 2.10^{-5}\,\textrm{Pa}\) $$ I_{dB} = 10 \log_{10}\frac{p^2/2Z}{p_{ref}^2/2Z} = 20 \log_{10}\frac{p}{p_{ref}} $$

Transmision et reflexion

Continuïté à l'interface : pression et flux

Coefficient de réflexion et transmission

Pour la pression :

interface entre deux matériaux différents : \(Z_1 \neq Z_2\) et \(S_1 = S_2\)

$$ \left. \begin{array}{l} p_i + rp_i = tp_i \\ \frac{p_i}{Z_1} - r \frac{p_i}{Z_1} = t \frac{p_i}{Z_2} \end{array} \right\} \to\quad \left. \begin{array}{l} 1 + r = t \\ \frac{1-r}{Z_1} = \frac{t}{Z_2} \end{array} \right\} \to\quad \begin{array}{l} r = \frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1} \\ t = \frac{2Z_2}{Z_2+Z_1} \end{array} $$

interface entre deux matériaux identiques : \(Z_1 = Z_2\) et \(S_1 \neq S_2\)

$$ \left. \begin{array}{l} p_i + rp_i = tp_i \\ S_1 p_i - r S_1 p_i = t S_2 p_i \end{array} \right\} \to\quad \left. \begin{array}{l} 1 + r = t \\ S_1 (1-r) = S_2 t \end{array} \right\} \to\quad \begin{array}{l} r = \frac{S_1-S_2}{S_2+S_1} \\ t = \frac{2S_1}{S_2+S_1} \end{array} $$

Pour l'intensité acoustique :
$$ I = \frac{p^2}{2Z} $$

inteface entre deux matériaux différents : \(Z_1 \neq Z_2\) et \(S_1 = S_2\)
$$ I_r = R I_i \quad \to \quad \frac{r^2 p_i^2}{2Z_1} = R \frac{ p_i^2}{2Z_1} \quad \to \quad R = r^2 $$
$$ I_t = T I_i \quad \to \quad \frac{t^2 p_i^2}{2Z_2} = T \frac{ p_i^2}{2Z_1} \quad \to \quad T = \frac{Z_1}{Z_2}t^2 $$

On constate que l'énergie est bien conservée :
$$ R + T = \frac{Z_2^2 + Z_1^2 - 2Z_1Z_2}{(Z_2+Z_1)^2} + \frac{4Z_1Z_2}{(Z_2+Z_1)^2} = 1$$

Ondes stationnaires

Oreille capteur de son

Physiologie de l'oreille

Rôle de l'oreille moyenne

Son simple, son complexe, son musical

Représentation spectrale

Série et transformée de Fourier

Espaces vectoriels, Espaces de Hilbert : Analogie

Signal "Carré"

Représentation spectrale

$$ 1+ \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin n\omega t $$

\begin{equation*} \begin{split} 1+\frac{4}{\pi} \left[ \sum_{n=1}^{25} \frac{\cos \frac{(2n-1)\pi}{4}}{2n-1}\cos (2n-1)\omega t + \right. \\ \left. \frac{\sin \frac{(2n-1)\pi}{4}}{2n-1}\sin (2n-1)\omega t \right] \end{split} \end{equation*}

Remarquez l'effet de la parité de la fonction !

en complexes

Formule d'Euler :
$$ e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta \quad\to\quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \; ;\; \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

\begin{align*} f(t) &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \\ &= a_0 + \sum_n a_n \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i} + b_n \frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2} \\ &= a_0 + \sum_n \frac{b_n-ia_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{b_n+ia_n}{2}e^{-in\omega t} \\ &= a_0 + \sum_n c_n e^{in\omega t} + c_n^* e^{-in\omega t} \end{align*}

Série complexe, fréquences "négatives" $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega t} \quad ;\; c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt \quad ;\; c_n^* = c_{-n} $$

Transformée de Fourier

• La transformée de Fourier est une ``extension'' de la décomposition en série de Fourier, mais pour des signaux quelconques ;
• Intuitivement on peut considérer un signal non périodique comme un signal dont la période \(T \to \infty\). Ainsi la somme discrète et le facteur \(1/T\) intervenant dans la série de Fourier deviennent respectivement une intégrale, et une "petite différence" de fréquence \(df\).

On définit la transformée de Fourier (TF), notée \(X(f)\), d'un signal \(x(t)\) et son inverse comme suit : \[ TF\{x(t)\} \equiv X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft} dt\] \[ TF^{-1}\{X(f)\} \equiv x(t) = \int_{-\infty}^\infty X(f)e^{+j2\pi ft} df\]

Ondes acoustiques

Son simple, son complexe, son musical

oreille interne : analyse spectrale

Intensité acoustique vs Sonie

Intensité et Perception

L'oreille externe agit comme un résonateur (amplificateur)

Intensité et fréquence : "phone"

Le phone est l'unité du niveau acoutisque perçu d'un son pur. Elle permet de comparer deux sons de fréquences différentes :
1 phone = Intensité acoustique de 1 dB @ 1 kHZ

Psychoacoustique

Quelle que soit l’échelle de perception de perception utilisée on obtient une relation monotone en fonction de l’intensité acoustique

$$ \Psi=kI^p$$

$$ \log_{10}\Psi=\log_{10}k + p \log_{10} I$$ $$ I_{dB}=10\log_{10}\frac{I}{I_{ref}} $$ $$ \log_{10}\Psi = \log_{10}kI_{ref}^p +p\frac{I_{dB}}{10}$$

Sones

De combien doit-on augmenter l'intensité acoustique pour "doubler" l'impression sonore ?

Attention :

• La relation n'est valide qu'à partir d'environ 30dB
• Ces calculs ne sont valides que pour des sons purs !
  • Il faut convertir les dB en phones
  • Il faut sommer sur la bande passante du son complexe

Loi de Stevens / Loi de Weber-Fechner

L'idée d'utiliser une loi de puissance a été popularisée par S. Stevens, on peut la considérer comme une "variante de la loi de Weber-Fechner.

On considère que la différence de perception se mesure en nombre de seuils de différence \(\Delta I\) : $$d\Psi=\frac{dI}{\Delta I} $$

et que ce seuil de différence est proportionnel à l'intensité : $$\Delta I = kI$$

On trouve une loi logarithmique plutôt qu'une loi de puissance.

... mais l'expérience ne confirme pas l'hypothèse \(\Delta I = kI\)

Potentiels d'actions

On propose de relier l'unité de sensation au taux de potentiels d'actions déclenchés \(R\) : $$ \Psi = aR -b$$

Même si on ne connaît pas la fonction \(R(I)\), on peut supposer qu'il s'agit d'une fonction continue dérivable. En utilisant la technique de la différentielle : $$ \Delta R = \frac{dR}{dI}\Delta I$$

Enfin, on peut considérer \(R\) comme une variable aléatoire, décrite par une statistique de Poisson : $$ \Delta R = c\sqrt{R} \;\to\; \frac{dR}{\sqrt{R}}=c\frac{dI}{\Delta I}$$

L'accord est assez bon.
On retrouve le comportement en loi de puissance pour \(I_{dB}>30dB\).

Intensité et durée

Modèle de l'intégrateur à fuite