Médecine Sciences

Physique pour l'imagerie

Benoît C. FORGET

2016-17

Laboratoire neurophotonique
Faculté des Scicences Fondamentales et Biomédicales
benoit.forget@parisdescartes.fr

Plan

1. Rappels d'optique géométrique
   • Rayons et Images
   • Microscope Optique
2. Notion d'onde
   • Propagation d'onde
   • Description mathématique des ondes
   • Équation de d'Alembert
   • Solutions harmoniques
   • Notation complexe
3. Dualité temps fréquence
   • Séries et transformée de Fourier
   • Notions d'analyse fréquentielle et de traitement d'images
   • Sommes d'ondes : Laser à impulsions brèves

4. Interférences et Diffraction
   • Imagerie de phase
   • Résolution et PSF
   • PSF et convolution
   • Super résolution
5. Wavefront Engineering
   • Ondes à 2 et 3 dimensions : Notion de front d'onde
   • De l'optique ondulatoire à l'optique géométrique
   • Applications aux neurosciences
6. Absorption
   • Oscillateur harmonique : modèle universel
   • Polarisation
   • Exemple : spectre d'absorption de l'eau

Optique géométrique

• rayon lumineux pour étudier la propagation de la lumière et la formation d'images ;
• lois empiriques de propagation rectiligne, de réflexion et réfraction ;
• permet la conception d'instruments (eg. télescope, microscope, fibres optiques ...)

Wall painting from the Stanzino delle Matematiche in the Galleria degli Uffizi (Florence, Italy). Painted by Giulio Parigi (1571-1635) in the years 1599-1600.

Microscope Zeiss, circa 1879, d'autres de la même époque ici : Museum optischer Instrumente

Stigmatisme et Formation d'Images

• le système est stigmatique pour les points \(A\) et \(A'\) ;
• \(A'\) est le point conjugué du point \(A\) : \(A'\) est l'image \(A\) ;
• tout rayon lumineux dont le support dans le milieu incident passe par \(A'\) a son support dans le milieu émergeant passant par \(A'\) ;
• en l'absence de stigmatisme, l'image est floue

image nette

Is there a bijective relation between "object" and "image" : can we recover the "object" from the "image" ?

Dioptres

Reflection et Refraction : A at the interface between two media of different index of refraction a ray of light changes it's direction.

Lois de Snell - Descartes

Mais qui regarde Venus ?

Véronese 1585 : Vénus au miroir

Lentilles minces

Relation de conjugaison

Points (et plans) focaux

Le point focal est conjugué avec l'infini

Les systèmes complexes peuvent aussi être décrit par leurs foyers (et plans conjugués)

Grandissement (transverse)

Système afocal

Loupe, grossissement (angulaire)

Qu'est-ce qu'un microscope ?

Instrument qui:

• donne une image grossie d’un petit objet (grossissement)
• sépare les détails de celui-ci sur l’image (résolution)
• rend les détails visibles à l’œil ou avec une caméra

Objectif

Site de référence sur la microscopie : Perfect Two-Lens System

Le grossissement ne suffit pas !

Microtubules de cellules S2 de drosophile

Optique ondulatoire

Qu'est-ce qu'une onde ?

Transport d'énergie sans transport de matière

Mathematical description of waves

A deformation moving while keeping the same shape

Space and time evolution (variables) are 'coupled':
$$\xi(x,t) = \xi(x-ct) \qquad\left\{\xi(x+ct)\;\textrm{if}\; \vec c= -c \vec u_x \right\}$$

From a mathematical point of view

Analyse dimensionnelle : $$ \frac{[\xi]}{[T]^2}-[c]^2\frac{[\xi]}{[L]^2} \;\to\; [c]=\frac{[L]}{[T]}$$

La célérité \(c\) a bien les dimensions d'une vitesse.

From a physical point of view

Vibrating string

Newtonian dynamics ... \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=0\)

• On s'intéresse au mouvement suivant l'axe \(x\) d'un petit segment de longueur \(\Delta z\).
• Il existe une tension (une force) \(T_0\) dans la corde. Cette tension se transmet "de proche en proche", et chaque petit segment \(\Delta z\) la subit.

• On déforme maintenant la corde et on cherche à écrire la déformation \(\xi (z,t)\).
• Quelles sont les forces appliqueés ? Il s'agit des projetions sur l'axe \(x\) des tensions. $$F_x(t)=T_2 \sin \theta_2 - T_1 \sin \theta_1 $$

Si les angles sont petits : \(\displaystyle \sin \theta_{1,2} \approx \tan\theta_{1,2} = \left.\frac{\partial \xi} {\partial z}\right| _{z=z_1,z=z_2}\)

et si la corde ne se déforme pas : \(\displaystyle T_2 \approx T_1 \equiv T_0 \)

et donc : \(\displaystyle F_x(t)= T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_2} -T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_1}= T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}\)

Il faut d'appliquer la seconde loi de Newton : \(\vec F = m\vec a\). $$ \xi\to\textrm{déplacement}\; ;\; \frac{\partial \xi}{\partial t}\to\underbrace{\textrm{vitesse}}_{\neq \textrm{célérité !}} \; ;\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\to \textrm{accélération} $$

La masse linéïque (masse par unité de longueur) \(\rho\) permet d'exprimer la masse \(m\) du segment : \(m=\rho\Delta z\) $$F_x(t)= ma \to T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} = \rho \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \;\to\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} - \frac{\rho}{T_0} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} =0$$

• C'est l'équation d'onde ;
• \(c\) est la célérité de l'onde, c'est bien une grandeur homogène à une vitesse \[c=\sqrt{\frac{T_0}{\rho}} \;\to\; \sqrt{\frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}]}} = [LT^{-1}] \]
• et ne dépend que des propriétés mécaniques du milieu

From a physical point of view

pressure wave in a sound pipe

Newtonian dynamics + fluid elasticity ... \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}=0\)

Démonstration : Dynamique

La déformation \(\xi\) est fonction du temps \(t\) et de la position \(x\), de la forme : \(\xi(x,t) = f(x-ct)\).
On définit :

$$ F=ma \quad\to\quad S \underbrace{\left[p(x) - p(x+\Delta x) \right]}_{=-\frac{\partial p}{\partial x} \Delta x} = \rho S \Delta x \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} $$ \[ -\frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} \quad\to\quad \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0\]

Conservation de la masse

\[ \rho V = \rho_0 V_0 \;\to\; \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_0}{V} = \frac{S\Delta x}{S\Delta x \left[1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \right]} \] \[ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1}{1+\frac{\partial \xi}{\partial x} } = 1-\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; -\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\rho-\rho_0}{\rho_0} = \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \]

ou \[ \frac{V}{V_0} = 1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; \frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{V-V_0}{V_0} = \frac{\Delta V}{V_0} \]

Élasticité : Loi de Hooke

La description qui prend en compte la géométrie 3D relie linéairement la pression à la variation relative de volume : $$ p = cste \cdot \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; p = -\frac{1}{\chi} \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p $$

Dans le cas qui nous intéresse, \(\chi\) est la compressibilité adiabatique.

• dynamique : \(\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 \)
• élasticité : \(\displaystyle \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p \)
• continuïté : \(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\Delta V}{V_0} \)

\begin{align*} \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \\ \frac{\partial}{\partial x}\left[-\frac{1}{\chi}\frac{\Delta V}{V_0} \right] + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \\ -\frac{1}{\chi}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{\partial \xi}{\partial x}\right] + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \to \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} -\frac{1}{\chi\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} = 0\\ \end{align*}

• C'est l'équation d'onde ;
• \(c\) est la célérité de l'onde, c'est bien une grandeur homogène à une vitesse \[c=\frac{1}{\sqrt{\rho\chi}} \;\to\; \frac{1}{\sqrt{\frac{[ML^{-3}]}{[ML^{-1}T^{-2}]}}} = [LT^{-1}] \]
• et ne dépend que des propriétés mécaniques du milieu

What about EM waves ?

\begin{align} \vec \nabla \cdot \vec E &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \vec \nabla \cdot \vec B &= 0 \\ \vec \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\ \vec \nabla \times \vec B &= \mu_0 \vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \\ \end{align}

$$-\nabla^2 \vec E +\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$$ $$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$

trig functions as solutions

Trig functions (sine, cosine) are solution to d'Alembert's equation.

In the form : $$\xi(x,t)= A\cos(kx \pm \omega t+ \phi ) $$ with : \(\displaystyle c=\frac{\omega}{k}\)

Vérification : \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial }{\partial t} A \cos(\omega t - kx + \varphi) \right] - c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial }{\partial x}A\cos(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\ \frac{\partial}{\partial t}\left[-\omega A\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] - c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[kA\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\ -\omega^2 A\cos(\omega t - kx + \varphi) + c^2k^2A\cos(\omega t - kx + \varphi) &= 0 \;\to\; c=\frac{\omega}{k} \end{align*}

Space (\(\lambda\)) and time (\(T\)) periodicity are explicited : $$\cos\left(2\pi\left(\frac{x}{\lambda} \pm \frac{t}{T}\right)+ \phi \right )$$ $$k=\frac{2\pi}{\lambda} \; ; \; \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \quad\to \quad c=f\lambda$$

Digression : Notation complexe

Avant de pousser plus loin, considérons un mouvement circulaire uniforme

En coordonnées cartésiennes : $$ \vec x= \ell \cos\theta \vec u_x \qquad \vec y=\ell\sin\theta \vec u_y \quad \left[=\ell\sin\left(\theta -\frac{\pi}{2}\right)\vec u_y\right]$$

Vitesse tangentielle

Accélération centripète

Représentation complexe

Représentation cartésienne, Représentation polaire

Dérivée

Avantage de l'exponentielle complexe : $$ z=ae^{i\theta} \quad\to\quad \frac{\partial z}{\partial \theta} = iae^{i\theta} = iz $$

la dérivée s'obtient par une multiplication.

multiplication par \(i\)

Onde en notation complexe

The EM field \(E(x,t)\)is written in complex notation : \begin{align*} E=A\cos(kx \pm \omega t + \phi) & = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j(kx \pm \omega t + \phi)}\right\} \\ & = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j\phi}e ^{j(kx \pm \omega t)}\right\} \\ & = \Re\left\{\tilde E =\tilde Ae ^{j(kx \pm \omega t)}\right\} \end{align*}

Note: Physical (measurable) quantites can only be expressed with real numbers.

Attention au caractère linéaire

Cette approche fonctionne tant que l'on s'en tient à des opérations linéaires : $$\Re\{ a z_1 + z_2\} = a \Re z_1 + \Re z_2 $$ $$ \Re\{ z'\} = (\Re z )' $$ mais : $$\Re\{ z_1 \times z_2\} \neq \Re z_1 \times \Re z_2 $$

The traveling wave

For example, a sound wave : $$f=1000\,{\rm Hz} \; ;\; c=330\,{\rm m.s^{-1}} \quad\to\; \lambda = 0,33\,\textrm{m}$$

Propagating wave : the phasor

3. Dualité temps fréquence

Optical Waves

Séries et transformée de Fourier

Toute fonction périodique \(f(t)\) de période \(T\) (de pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) peut s'écrire comme suit : \begin{align*} f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\ &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \end{align*}

Il suffit de savoir calculer les coefficients :

• \(\displaystyle a_0 =\frac{1}{T}\int_0^T f(t) dt\)
  C'est la valeur moyenne de \(f(t)\).
• \(\displaystyle a_n = \frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\sin n\omega t dt\)
• \(\displaystyle b_n = \frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\cos n\omega t dt\)

Espaces vectoriels, Espaces de Hilbert : Analogie

Signal "Carré"

Représentation spectrale

$$ 1+ \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin n\omega t $$

\begin{equation*} \begin{split} 1+\frac{4}{\pi} \left[ \sum_{n=1}^{25} \frac{\cos \frac{(2n-1)\pi}{4}}{2n-1}\cos (2n-1)\omega t + \right. \\ \left. \frac{\sin \frac{(2n-1)\pi}{4}}{2n-1}\sin (2n-1)\omega t \right] \end{split} \end{equation*}

Remarquez l'effet de la parité de la fonction !

en complexes

Formule d'Euler :
$$ e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta \quad\to\quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \; ;\; \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

\begin{align*} f(t) &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \\ &= a_0 + \sum_n a_n \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i} + b_n \frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2} \\ &= a_0 + \sum_n \frac{b_n-ia_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{b_n+ia_n}{2}e^{-in\omega t} \\ &= a_0 + \sum_n c_n e^{in\omega t} + c_n^* e^{-in\omega t} \end{align*}

Série complexe, fréquences "négatives" $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega t} \quad ;\; c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt \quad ;\; c_n^* = c_{-n} $$

Transformée de Fourier

• La transformée de Fourier est une ``extension'' de la décomposition en série de Fourier, mais pour des signaux quelconques ;
• Intuitivement on peut considérer un signal non périodique comme un signal dont la période \(T \to \infty\). Ainsi la somme discrète et le facteur \(1/T\) intervenant dans la série de Fourier deviennent respectivement une intégrale, et une "petite différence" de fréquence \(df\).

On définit la transformée de Fourier (TF), notée \(X(f)\), d'un signal \(x(t)\) et son inverse comme suit : \[ TF\{x(t)\} \equiv X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft} dt\] \[ TF^{-1}\{X(f)\} \equiv x(t) = \int_{-\infty}^\infty X(f)e^{+j2\pi ft} df\]

Notion d'analyse fréquentielle

Exemple : ECG

$$ \left. \begin{array}{ll} 1\,\textrm{battement :} & 1,2\,\textrm{sec.} \\ 6\,\textrm{battements :} & 7,1\,\textrm{sec.} \end{array} \right\} \;\to\; 50,7\,\textrm{bat/min} \;\to\; 0,83 \textrm{Hz} $$

Son musical

Analyse temps-fréquence

ECG : arythmie

EEG : phases du sommeil

Transformée de Fourier 2D

Filtre passe-bas, Filtre passe-haut

Et la phase ?

Laser à impulsions brèves

Amplitude modulation

Remember that d'Alembert's equation is linear : the sum of fundamental solutions (monochromatic waves) is also a solution (polychromatic wave)

Acoustic beats is the simplest example :

desafinado :

More waves ...

Why is this too easy ?

The solution to d'Alembert's equation implies a phase reference \(\varphi\) :
$$ A \exp\left(j\left(\omega t -k x + \color{orange}{\varphi}\right)\right)$$ This phase reference sets the "origin" of space and time.

Remember mode locking

The simulations shown before are "mode locked". This means that \(\varphi\) is the same for every wave in the sum.

What if the phase is randomly distributed ?

frequency content

Compressing and Stretching chirped pulses

A dispersive device (grating, prism, ...) can seperate the frequencies (colors) contained in a short pulse.

Seeing water in water

Intensity constrast

Brightfield reflectance microscopy is based on intensity constrast

The cell is not verry "optically different" than the sourounding medium :
Cell : \(n = 1, 36 \,\to\, R\approx 0, 0233\)
nutriment medium : \(n = 1, 335 \,\to\, R \approx 0, 0206\)

Contrast : \( \displaystyle C=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} \approx 6\% \)

Why not measure phase contrast

Amplitude, phase and intensity

Remember the expression of the field (in complex and real notations) : $$ \tilde E = \tilde A e^{j(kr - \omega t)} $$ $$ \Re\{E\} = A \cos (kr - \omega t + \varphi) $$

Only the intensity (average value over tile of the energy of the wave) can be detected. $$ I = \left < E^2 \right > = \frac{1}{2} EE^* = \frac{A^2}{2} $$

Detection of the intensity is phase independant !

Interferences

D'Alembert's equation is linear

The sum of the wave (interference) is also a wave : $$ E_1 = \tilde A e^{j(kr - \omega t)} \qquad E_2 = \tilde A e^{j(kr - \omega t+\Delta \phi)} $$

The intensity of this interference is phase dependant : $$ I_T = \frac{1}{2} (E_1+E_2)(E_1+E_2)^* = I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos \Delta\phi $$

it is a function of the phase difference \(\Delta \varphi\) between the two intefering waves.

A simple example : Young' slits

Why do we see (weak) contrast here ?

Where is the "second wave" ?

Abbe's theory of image formation

An image is a spatial distribution of intensity, the intensity of the total field reaching the image plane

This total field can be expressed as the sum of individual fields and the image can "viewed" as the interference pattern genrated by these individual fileds !

Fourier series

Any periodic function \(f(t)\) of period \(T\) (pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) can be expressed as :
\begin{align*} f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\\ &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \end{align*}

Abbe's diffraction limit

Phase contrast image

• "Some part" of the incoming wave interacts with the sample. This is the "diffracted wave"
• "Some other part" of the incoming just "goes right through". This is the "surrond wave".
• The image results from the interference between these two waves

Optimizing phase contrast

$$ I_T \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\cos \Delta\phi $$

$${\cal C} \equiv \frac{I_2-I_1}{I_2+I_2} \qquad\to\quad {\cal C} \propto 1- \cos\Delta\phi \approx \Delta\phi ^2 $$

Phase shift the surround wave

$$ I_T \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\cos (\Delta\phi +\pi/2) \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\sin \Delta\phi $$

$$ {\cal C} \equiv \frac{I_2-I_1}{I_2+I_2} \qquad\to\quad {\cal C} \propto \sin\Delta\phi \approx \Delta\phi $$

Phase mask

Improved contrast

The phase contrast microscope

Ajusting the contrast

Rich ... but somewhat "qualitative"

A first step towards holography

More than 3D

"known" (controled) reference wave

Stigmatism and the microscope

Points \(B\), \(B'\) and \(B''\) are conjugate points ; there is a bijective relation between them.

This is not the case in "real life" microscopy

Young's slits experiment

Interference pattern

Abbe's theory of image formation

An image is a spatial distribution of intensity, the intensity of the total field reaching the image plane

This total field can be expressed as the sum of individual fields and the image can "viewed" as the interference pattern genrated by these individual fileds !

Fourier series

Any periodic function \(f(t)\) of period \(T\) (pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) can be expressed as :
\begin{align*} f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\\ &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \end{align*}

Abbe's diffraction limit

Diffraction limit

Numerical aperture

Numerical aperture

Airy pattern and Rayleigh criterion

$$I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2$$
$$k = \frac{2\pi}{NA}$$

$$ \frac{1,22 \lambda}{2 ON} = \frac{0,61 \lambda}{NA}$$

PSF and imaging

NA and image resolution

PSF, Impulse response ... Convolution

Deconvolution

Deconvolution is possible to a certain extent ...

Real PSF

A 3D problem

Aberrations

Optical element are not perfect.

Astigmatism Aberrations

Scattering

Measuring the PSF : Imaging a very small object

Improving the PSF with Adaptative Optics (AO)

Illumination
structurée

Moiré

Modulation d'amplitude

En 1D :

En 3D :

Microscopie HiLo

Emiliano Ronzitti

Résolution axiale

Microscopie confocale

The traveling wave

For example, a sound wave : $$f=1000\,{\rm Hz} \; ;\; c=330\,{\rm m.s^{-1}} \quad\to\; \lambda = 0,33\,\textrm{m}$$

Propagating wave : the phasor

2D - 3D waves : the wavefront

In 2D (3D) a given path (surface) of same phase form a "wavefront"

from wave optics back to ray optics

Snell's law : refraction

Diffrent thickness \(\to\) different phase shift (retardation).
$$ \Delta \varphi(x) = 2\pi (n-1) \frac{x \tan \alpha}{\lambda}$$

Axicon

lens

Wavefront engineering

Tilt

Lens

Multi spots

Wavefront Engineering

Diffractive Optical Elements (DOE)

For any point (x,y) of the incoming wavefront we want to add independantly the appropriate phase delay

$$\Delta\phi_g=a\left(x\tan\theta_x+y\tan\theta_y\right)\textrm{mod }2\pi$$

$$\phi_\ell=b\Delta z\left(x^2+y^2\right)\textrm{mod }2\pi$$

Liquid crystal spatial light modulator (SLM)

Oscillateur harmonique

Considérons un système à l'équilibre que l'on déplace légèrement par rapport sa position d'équilibre
L'énergie potentielle du système \(E_p\) pour cette nouvelle position \(x\) légèrement différente de celle d'équilibre \(x_{eq}\) s'écrit, après un développement limité à l'ordre 2 :

Par souci de simplicité on suppose que l'énergie \(E_p\) est fonction de la position \(x\) mais le raisonnement sera le même pour toute variable dont dépend l'énergie et que l'on aura modifiée.

• \(x_{eq}\) étant une position d'équilibre : \(\displaystyle \left. \frac{dE_p}{dx}\right|_{x_{eq}} = 0\)
• \(x_{eq}\) étant une position d'équilibre stable : \(\displaystyle \left. \frac{d^2E_p}{dx^2}\right|_{x_{eq}}\equiv k > 0\)

On s'intéresse maintenant à la force de rappel (qui "ramène" le système vers sa position d'équilibre). A partir de la relation entre travail et énergie potentielle : $$ \vec F = - \vec\nabla E_p \quad\to\quad F_x(x)=-\frac{dE_p}{dx}$$

on obtient : $$ E_p(x) \approx E_p(x_{eq}) + \frac{1}{2}k(x-x_{eq})^2 \quad\to\quad F_x(x)=-k(x-x_{eq})$$

Au voisinage de \(x_{eq}\) le système se comporte comme un oscillateur harmonique si il est soumis à une force de rappel élastique

Oscillateur harmonique amorti

On considère maintenant une force de frottement proportionnelle (et de sens opposé) à la vitesse (Rappelez-vous la PACES ;-)) $$\vec F_f = - \gamma \frac{\partial x}{\partial t} \; ; \gamma > 0 $$ $$m\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial x}{\partial t} + kx = 0 \quad\to\quad \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} + \frac{1}{\tau} \frac{\partial x}{\partial t} + \omega_0^2x = 0 $$

• \(\displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\) : résonance. \(\displaystyle [\omega_0]=\sqrt{\frac{[MT^{-1}]}{[M]}}=[T^{-1}]\)
• \(\displaystyle \tau = \frac{m}{\gamma}\) : temps caractéristique. \(\displaystyle [\tau]=\frac{[M]}{[MT^{-1}]}=[T]\)
• \(Q=\omega_0\tau\) : facteur de qualité. \([Q]=[T^{-1}T]=[]\)
• \(\displaystyle \zeta=\frac{1}{2Q} \) : facteur d'amortissement. \(\displaystyle [\zeta]= \frac{1}{[Q]}=[]\)

Polarisation induite

Il apparaît un champ induit \(\tilde{\vec P}\) proportionnel au champ appliqué \(\tilde {\vec E}\) (au moment dipolaire induit \(\tilde{\vec p}\))

• \(\chi_e\) : susceptibilité électrique

Modèle de l'électron élastiquement lié

La force appliquée à l'oscillateur harmonique amorti s'écrit :

$$ q\tilde{E}=q\tilde{E_0}e^{j\omega t}$$
$$\tilde{\vec x} = \frac{\frac{q}{m\omega_0}}{1+j\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}} \tilde{E_0}$$
$$\tilde{\vec p} = q\tilde{\vec x} $$

LA susceptibilité est une quantité complexe, on pose \(\tilde\chi_e = \chi_1-j\chi_2\) :

Ici \(Q=10\), en réalité \(Q\) est de l'ordre de \(10^3\)à \(10^4\)

Retour aux ondes EM

\begin{align} \vec \nabla \cdot \vec D &= \rho \\ \vec \nabla \cdot \vec B &= 0 \\ \vec \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\ \vec \nabla \times \vec B &= \mu_0 \vec j + \mu_0\frac{\partial\vec D}{\partial t} \\ \end{align}
$$\vec D = \epsilon_0\epsilon_r \vec E$$

Dans un milieux "sans charges libres ni courant" : \( \rho\,,\,\vec j = 0\)

$$-\nabla^2 \vec E +\frac{\epsilon_r}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$$ $$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$

\(c\) est la célérité dans le vide, \(c/\sqrt{\epsilon_r}\) la vitesse dans le milieu

Indice de réfraction

L'indice de réfraction est une quantité complexe !

Équation de d'Alembert :
solutions harmoniques

Loi de Beer-Lambert