Laboratoire neurophotonique
Faculté des Scicences Fondamentales et Biomédicales
benoit.forget@parisdescartes.fr
Wall painting from the Stanzino delle Matematiche in the Galleria degli Uffizi (Florence, Italy). Painted by Giulio Parigi (1571-1635) in the years 1599-1600.
Microscope Zeiss, circa 1879, d'autres de la même époque ici : Museum optischer Instrumente
Is there a bijective relation between "object" and "image" : can we recover the "object" from the "image" ?
Reflection et Refraction : A at the interface between two media of different index of refraction a ray of light changes it's direction.
Véronese 1585 : Vénus au miroir
Le point focal est conjugué avec l'infini
Instrument qui:
Site de référence sur la microscopie :
Perfect Two-Lens System
Microtubules de cellules S2 de drosophile
Dans un milieu élastique il existe des forces internes qui tendent à le ramener à sa situation d'équilibre après une perturbation
Cette perturbation (ou déformation) se déplace à une vitesse (célérité) qui est déterminée uniquement par les propriétés mécaniques de ce milieu.
A deformation moving while keeping the same shape
Space and time evolution (variables) are 'coupled':
Is there an equation that allows for solution :
$$A\xi(x-ct)+B\xi(x+ct)$$
d'Alembert equation !
$$\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} =0 $$
Analyse dimensionnelle :
$$ \frac{[\xi]}{[T]^2}-[c]^2\frac{[\xi]}{[L]^2} \;\to\; [c]=\frac{[L]}{[T]}$$
La célérité \(c\) a bien les dimensions d'une vitesse.
Newtonian dynamics ... \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=0\)
Si les angles sont petits : \(\displaystyle \sin \theta_{1,2} \approx \tan\theta_{1,2} = \left.\frac{\partial \xi} {\partial z}\right| _{z=z_1,z=z_2}\)
et si la corde ne se déforme pas : \(\displaystyle T_2 \approx T_1 \equiv T_0 \)
et donc : \(\displaystyle F_x(t)= T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_2} -T_0 \left.\frac{\partial \xi}{\partial z}\right|_{z=z_1}= T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2}\)
Il faut d'appliquer la seconde loi de Newton : \(\vec F = m\vec a\).
$$ \xi\to\textrm{déplacement}\; ;\; \frac{\partial \xi}{\partial t}\to\underbrace{\textrm{vitesse}}_{\neq \textrm{célérité !}} \; ;\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}\to \textrm{accélération} $$
La masse linéïque (masse par unité de longueur) \(\rho\) permet d'exprimer la masse \(m\) du segment : \(m=\rho\Delta z\)
$$F_x(t)= ma \to T_0 \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} = \rho \Delta z \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} \;\to\; \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} - \frac{\rho}{T_0} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} =0$$
Newtonian dynamics + fluid elasticity ... \(\displaystyle \to\quad \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}=0\)
La déformation \(\xi\) est fonction du temps \(t\) et de la position \(x\), de la forme : \(\xi(x,t) = f(x-ct)\).
$$ F=ma \quad\to\quad S
\underbrace{\left[p(x) - p(x+\Delta x) \right]}_{=-\frac{\partial p}{\partial x} \Delta x}
= \rho S \Delta x \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} $$
\[ -\frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} \quad\to\quad \frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0\]
\[ \rho V = \rho_0 V_0 \;\to\; \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{V_0}{V} = \frac{S\Delta x}{S\Delta x \left[1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \right]} \]
\[ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1}{1+\frac{\partial \xi}{\partial x} } = 1-\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; -\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\rho-\rho_0}{\rho_0} = \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \]
ou
\[ \frac{V}{V_0} = 1+\frac{\partial \xi}{\partial x} \;\to\; \frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{V-V_0}{V_0} = \frac{\Delta V}{V_0} \]
La description qui prend en compte la géométrie 3D relie linéairement la pression à la variation relative de volume :
$$ p = cste \cdot \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; p = -\frac{1}{\chi} \frac{\Delta V}{V_0} \;\to\; \frac{\Delta V}{V_0} = -\chi p $$
Dans le cas qui nous intéresse, \(\chi\) est la compressibilité adiabatique.
\begin{align*}
\frac{\partial p}{\partial x} + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \\
\frac{\partial}{\partial x}\left[-\frac{1}{\chi}\frac{\Delta V}{V_0} \right] + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \\
-\frac{1}{\chi}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{\partial \xi}{\partial x}\right] + \rho \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = 0 & \to \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} -\frac{1}{\chi\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} = 0\\
\end{align*}
Note that vacuum (like materials) has electromagnetic properties !
Trig functions (sine, cosine) are solution to d'Alembert's equation.
In the form :
$$\xi(x,t)= A\cos(kx \pm \omega t+ \phi ) $$
with : \(\displaystyle c=\frac{\omega}{k}\)
Vérification :
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial }{\partial t} A \cos(\omega t - kx + \varphi) \right]
- c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial }{\partial x}A\cos(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\
\frac{\partial}{\partial t}\left[-\omega A\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] - c^2\frac{\partial}{\partial x}\left[kA\sin(\omega t - kx + \varphi)\right] &= 0 \\
-\omega^2 A\cos(\omega t - kx + \varphi) + c^2k^2A\cos(\omega t - kx + \varphi) &= 0
\;\to\; c=\frac{\omega}{k}
\end{align*}
Space (\(\lambda\)) and time (\(T\)) periodicity are explicited :
$$\cos\left(2\pi\left(\frac{x}{\lambda} \pm \frac{t}{T}\right)+ \phi \right )$$
$$k=\frac{2\pi}{\lambda} \; ; \; \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \quad\to \quad c=f\lambda$$
Avant de pousser plus loin, considérons un mouvement circulaire uniforme
donc :
$$ \theta =\omega t + \theta_0$$
\(\omega\) est la vitesse angulaire et \(\theta_0\) l'angle initial (en \(t=0\))
En coordonnées cartésiennes :
$$ \vec x= \ell \cos\theta \vec u_x \qquad \vec y=\ell\sin\theta \vec u_y \quad \left[=\ell\sin\left(\theta -\frac{\pi}{2}\right)\vec u_y\right]$$
On peut repérer la position (\(\overrightarrow{OA}\)) comme suit :
On s'intéresse maintenant à la vitesse :
$$\vec v= \frac{d\overrightarrow{OA}}{dt} = \ell \frac{d}{dt} \left[\cos\left(\omega t + \theta_0\right) \vec u_x + \sin\left(\omega t + \theta_0\right) \vec u_y \right] $$
\begin{align*}
\vec v &= \omega\ell \left[-\sin\left(\omega t + \theta_0\right) \vec u_x + \cos\left(\omega t + \theta_0\right) \vec u_y \right] \\
& = \omega\ell \left[-\sin\theta \vec u_x + \cos\theta \vec u_y \right] = \omega\ell \vec u_t
\end{align*}
La vitesse est tangentielle :
$$\vec v= \omega\ell \left[-\sin\theta \vec u_x + \cos\theta \vec u_y \right]= \omega\ell \vec u_t$$
La vitesse varie en fonction du temps, on s'intéresse maintenant à l'accélération :
\begin{align*}
\vec a & = \frac{d\vec v}{dt} \\
& = \omega\ell \frac{d}{dt} \left[-\sin\left(\omega t + \theta_0\right)\vec u_x + \cos\left(\omega t + \theta_0\right) \vec u_y \right] \\
&=\omega^2\ell \vec u_c
\end{align*}
avec \( \vec u_c = -\cos\theta \vec u_x - \sin\theta \vec u_y = -\vec u\) ! L'accélération est bien centripète.
Il y a deux façons de repérer le point \(A\) :
$$ x=a\cos\theta \; ; \; y=a\sin\theta $$
On choisira de représenter la position \(A\) par un nombre complexe
Avantage de l'exponentielle complexe :
$$ z=ae^{i\theta} \quad\to\quad \frac{\partial z}{\partial \theta} = iae^{i\theta} = iz $$
la dérivée s'obtient par une multiplication.
Position :
$$ A=\ell e^{i\omega t}$$
Vitesse :
$$ \frac{\partial A}{\partial t} = i\omega \ell e^{i\omega t}$$
Accélération :
$$ \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = (i\omega)^2 \ell e^{i\omega t} = -\omega^2\ell e^{i\omega t}$$
$$\frac{\partial }{\partial t} = \times i\omega$$
\begin{align*}
i &= e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} = 0 +i1 =i \\
i^2 &= e^{i\pi} =-1 \\
i^3 &= e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i \\
...
\end{align*}
The EM field \(E(x,t)\)is written in complex notation :
\begin{align*}
E=A\cos(kx \pm \omega t + \phi) & = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j(kx \pm \omega t + \phi)}\right\} \\
& = \Re\left\{\tilde E = Ae ^{j\phi}e ^{j(kx \pm \omega t)}\right\} \\
& = \Re\left\{\tilde E =\tilde Ae ^{j(kx \pm \omega t)}\right\}
\end{align*}
Note: Physical (measurable) quantites can only be expressed with real numbers.
Cette approche fonctionne tant que l'on s'en tient à des opérations linéaires :
$$\Re\{ a z_1 + z_2\} = a \Re z_1 + \Re z_2 $$
$$ \Re\{ z'\} = (\Re z )' $$
mais :
$$\Re\{ z_1 \times z_2\} \neq \Re z_1 \times \Re z_2 $$
For example, a sound wave :
$$f=1000\,{\rm Hz} \; ;\; c=330\,{\rm m.s^{-1}} \quad\to\; \lambda = 0,33\,\textrm{m}$$
One particular "point" of phase \(\varphi_0\) travels along the axis \(Ox\) at speed \(c\).
Toute fonction périodique \(f(t)\) de période \(T\) (de pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) peut s'écrire comme suit :
\begin{align*}
f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\
&= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t
\end{align*}
Il suffit de savoir calculer les coefficients :
Remarquez l'effet de la parité de la fonction !
Formule d'Euler :
\begin{align*}
f(t) &= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t \\
&= a_0 + \sum_n a_n \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i} + b_n \frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2} \\
&= a_0 + \sum_n \frac{b_n-ia_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{b_n+ia_n}{2}e^{-in\omega t} \\
&= a_0 + \sum_n c_n e^{in\omega t} + c_n^* e^{-in\omega t}
\end{align*}
Série complexe, fréquences "négatives"
$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega t} \quad ;\; c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(t) e^{-in\omega t}dt \quad ;\; c_n^* = c_{-n} $$
On définit la transformée de Fourier (TF), notée \(X(f)\), d'un signal \(x(t)\) et son inverse comme suit :
\[ TF\{x(t)\} \equiv X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft} dt\]
\[ TF^{-1}\{X(f)\} \equiv x(t) = \int_{-\infty}^\infty X(f)e^{+j2\pi ft} df\]
$$
\left. \begin{array}{ll}
1\,\textrm{battement :} & 1,2\,\textrm{sec.} \\
6\,\textrm{battements :} & 7,1\,\textrm{sec.}
\end{array}
\right\} \;\to\; 50,7\,\textrm{bat/min} \;\to\; 0,83 \textrm{Hz}
$$
Remember that d'Alembert's equation is linear : the sum of fundamental solutions (monochromatic waves) is also a solution (polychromatic wave)
Acoustic beats is the simplest example :
Transport d'énergie sans transport de matière
Mathematical description of waves
$$\xi(x,t) = \xi(x-ct) \qquad\left\{\xi(x+ct)\;\textrm{if}\; \vec c= -c \vec u_x \right\}$$
From a mathematical point of view
From a physical point of view
Vibrating string
From a physical point of view
pressure wave in a sound pipe
Démonstration : Dynamique
On définit :
Conservation de la masse
$$ V_0 = S \Delta x $$
\begin{align*}
V &= S\left[ \Delta x + \xi(x+\Delta x) - \xi(x)\right] \\ &= S\Delta x\left[1+\frac{\partial \xi}{\partial x}\right]
\end{align*}
Élasticité : Loi de Hooke
$$F=k\Delta \ell$$
What about EM waves ?
\begin{align}
\vec \nabla \cdot \vec E &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\vec \nabla \cdot \vec B &= 0 \\
\vec \nabla \times \vec E &= -\frac{\partial\vec B}{\partial t} \\
\vec \nabla \times \vec B &= \mu_0 \vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \\
\end{align}
$$-\nabla^2 \vec E +\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$$
$$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $$
trig functions as solutions
Digression : Notation complexe
Vitesse tangentielle
$$ \overrightarrow{OA} = \ell \cos\theta \vec u_x + \ell\sin\theta \vec u_y = \ell \vec u $$
avec \(\vec u = \cos\theta \vec u_x + \sin\theta \vec u_y\).
avec \(\vec u_t=-\sin\theta \vec u_x + \cos\theta \vec u_y\).
\(\vec u_t\) est perpendiculaire à \(\vec u\).
Accélération centripète
Représentation complexe
$$a= \sqrt{x^2+y^2} \; ;\; \theta=\textrm{atan}\frac{y}{x}$$
Représentation cartésienne, Représentation polaire
$$ z= x+iy \quad\textrm{avec}\, i=\sqrt{-1} $$
$$ z= a\underbrace{\left(\cos\theta+i\sin\theta)\right)}_{=\exp(i\theta)\,\textrm{: rel. d'Euler}} = ae^{i\theta} $$
Dérivée
multiplication par \(i\)
$$z_1=a_1e^{i\theta_1}\; ;\; z_2=a_2e^{i\theta_2} \quad\to\quad z_4=z_1z_2=a_1a_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$
Onde en notation complexe
Attention au caractère linéaire
The traveling wave
$$\tilde{E}=\tilde{A}e^{j( \omega t \pm kr)}$$
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=31381808
Propagating wave : the phasor
\begin{align}
\omega t -kw &= \varphi_0 \\
x &= \frac{\varphi_0}{k}+\frac{\omega}{k}t \\
&= \frac{\varphi_0}{k}+ct
\end{align}
3. Dualité temps fréquence
Optical Waves
Séries et transformée de Fourier
C'est la valeur moyenne de \(f(t)\).
Espaces vectoriels, Espaces de Hilbert : Analogie
Signal "Carré"
Représentation spectrale
en complexes
$$ e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta \quad\to\quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \; ;\; \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$
Transformée de Fourier
Notion d'analyse fréquentielle
Exemple : ECG
Son musical
Analyse temps-fréquence
ECG : arythmie
EEG : phases du sommeil
Transformée de Fourier 2D
Filtre passe-bas, Filtre passe-haut
Et la phase ?
Laser à impulsions brèves
Amplitude modulation
desafinado :
The solution to d'Alembert's equation implies a phase reference \(\varphi\) :
$$ A \exp\left(j\left(\omega t -k x + \color{orange}{\varphi}\right)\right)$$
This phase reference sets the "origin" of space and time.
The simulations shown before are "mode locked". This means that \(\varphi\) is the same for every wave in the sum.
What if the phase is randomly distributed ?
A dispersive device (grating, prism, ...) can seperate the frequencies (colors) contained in a short pulse.
Brightfield reflectance microscopy is based on intensity constrast
$$ R=\frac{\left(n_1-n_2\right)^2}{\left(n_1+n_2\right)^2} $$
The cell is not verry "optically different" than the sourounding medium :
Cell : \(n = 1, 36 \,\to\, R\approx 0, 0233\)
nutriment medium : \(n = 1, 335 \,\to\, R \approx 0, 0206\)
Contrast : \( \displaystyle C=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} \approx 6\% \)
$$\Delta\varphi = k\Delta(nz) = \frac{2\pi}{\lambda}z\Delta n$$ $$z=6 µm\,;\, \Delta n =0,025 \,;\, \lambda=0,5 µm$$ $$\Delta (nz)=\frac{\lambda}{4}\,;\,\Delta\varphi \approx \frac{\pi}{2} $$
detector | response time |
eye | \( \approx 0,1\) s |
photo film | \( \approx 10^{-4} - 10^{-2} \) s |
electronic detector | \( \approx 10^{-6} - 10^{-2}\) s |
CCD | \( \approx 10^{-2}\) s |
$$ c=3\times 10^8 {\rm m/s} $$ $$ 400 {\rm nm} < \lambda < 700 {\rm nm} $$ $$ f= 6\times 10^{14} {\rm Hz} $$
Remember the expression of the field (in complex and real notations) : $$ \tilde E = \tilde A e^{j(kr - \omega t)} $$ $$ \Re\{E\} = A \cos (kr - \omega t + \varphi) $$
Only the intensity (average value over tile of the energy of the wave) can be detected. $$ I = \left < E^2 \right > = \frac{1}{2} EE^* = \frac{A^2}{2} $$
Detection of the intensity is phase independant !
The sum of the wave (interference) is also a wave : $$ E_1 = \tilde A e^{j(kr - \omega t)} \qquad E_2 = \tilde A e^{j(kr - \omega t+\Delta \phi)} $$
The intensity of this interference is phase dependant : $$ I_T = \frac{1}{2} (E_1+E_2)(E_1+E_2)^* = I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos \Delta\phi $$
it is a function of the phase difference \(\Delta \varphi\) between the two intefering waves.
An image is a spatial distribution of intensity, the intensity of the total field reaching the image plane
This total field can be expressed as the sum of individual fields and the image can "viewed" as the interference pattern genrated by these individual fileds !
Any periodic function \(f(t)\) of period \(T\) (pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) can be expressed as :
\begin{align*}
f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\\
&= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t
\end{align*}
$$ I_T \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\cos \Delta\phi $$
$${\cal C} \equiv \frac{I_2-I_1}{I_2+I_2} \qquad\to\quad {\cal C} \propto 1- \cos\Delta\phi \approx \Delta\phi ^2 $$
$$ I_T \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\cos (\Delta\phi +\pi/2) \approx I_S+2\sqrt{I_SI_D}\sin \Delta\phi $$
$$ {\cal C} \equiv \frac{I_2-I_1}{I_2+I_2} \qquad\to\quad {\cal C} \propto \sin\Delta\phi \approx \Delta\phi $$
Points \(B\), \(B'\) and \(B''\) are conjugate points ; there is a bijective relation between them.
This is not the case in "real life" microscopy
An image is a spatial distribution of intensity, the intensity of the total field reaching the image plane
This total field can be expressed as the sum of individual fields and the image can "viewed" as the interference pattern genrated by these individual fileds !
Any periodic function \(f(t)\) of period \(T\) (pulsation \(\omega\), \(\omega T=2\pi\)) can be expressed as :
\begin{align*}
f(t) &= a_0 + a_1\sin\omega t + b_1 \cos\omega t + a_2\sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t + \ldots \\\
&= a_0 + \sum_n a_n \sin n\omega t + \sum_n b_n \cos n\omega t
\end{align*}
Deconvolution is possible to a certain extent ...
Optical element are not perfect.
En 1D :
$$\cos(2\pi f_0 x) \times \cos(2\pi f_1 x) = \frac{1}{2}\left[\cos(2\pi (f_1-f_0) x)+\cos(2\pi (f_1+f_0) x)\right]$$En 3D :
Emiliano Ronzitti
For example, a sound wave : $$f=1000\,{\rm Hz} \; ;\; c=330\,{\rm m.s^{-1}} \quad\to\; \lambda = 0,33\,\textrm{m}$$
One particular "point" of phase \(\varphi_0\) travels along the axis \(Ox\) at speed \(c\).
In 2D (3D) a given path (surface) of same phase form a "wavefront"
The wave vector indicates the (local) direction of propagation of the wave.
For the "locally plane" wavefront : $$ \vec k\cdot \vec r = \rm{cst} $$
The wave vector is normal to the wave front
Diffrent thickness \(\to\) different phase shift (retardation).
$$ \Delta \varphi(x) = 2\pi (n-1) \frac{x \tan \alpha}{\lambda}$$
For any point (x,y) of the incoming wavefront we want to add independantly the appropriate phase delay
Considérons un système à l'équilibre que l'on déplace légèrement par rapport sa position d'équilibre L'énergie potentielle du système \(E_p\) pour cette nouvelle position \(x\) légèrement différente de celle d'équilibre \(x_{eq}\) s'écrit, après un développement limité à l'ordre 2 :
$$E_p(x) = E_p(x_{eq}) + (x-x_{eq})\left. \frac{dE_p}{dx}\right|_{x_{eq}} + \frac{(x-x_{eq})^2}{2}\left. \frac{d^2E_p}{dx^2}\right|_{x_{eq}} + O((x-x_{eq})^2)$$Par souci de simplicité on suppose que l'énergie \(E_p\) est fonction de la position \(x\) mais le raisonnement sera le même pour toute variable dont dépend l'énergie et que l'on aura modifiée.
On peut donc écrire : $$ E_p(x) \approx E_p(x_{eq}) + \frac{1}{2}k(x-x_{eq})^2$$
On s'intéresse maintenant à la force de rappel (qui "ramène" le système vers sa position d'équilibre). A partir de la relation entre travail et énergie potentielle : $$ \vec F = - \vec\nabla E_p \quad\to\quad F_x(x)=-\frac{dE_p}{dx}$$
on obtient : $$ E_p(x) \approx E_p(x_{eq}) + \frac{1}{2}k(x-x_{eq})^2 \quad\to\quad F_x(x)=-k(x-x_{eq})$$
Au voisinage de \(x_{eq}\) le système se comporte comme un oscillateur harmonique si il est soumis à une force de rappel élastique
On considère maintenant une force de frottement proportionnelle (et de sens opposé) à la vitesse (Rappelez-vous la PACES ;-)) $$\vec F_f = - \gamma \frac{\partial x}{\partial t} \; ; \gamma > 0 $$ $$m\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial x}{\partial t} + kx = 0 \quad\to\quad \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} + \frac{1}{\tau} \frac{\partial x}{\partial t} + \omega_0^2x = 0 $$
Il apparaît un champ induit \(\tilde{\vec P}\) proportionnel au champ appliqué \(\tilde {\vec E}\) (au moment dipolaire induit \(\tilde{\vec p}\))
Vecteur déplacement :
\begin{align} \tilde{\vec D} &= \epsilon_0 \tilde{\vec E} +\tilde{\vec P}\\ &= \epsilon_0 \underbrace{\left(1+\chi_e\right)}_{\epsilon_r\,\textrm{perm. rel.}}\tilde{\vec E} \end{align}La force appliquée à l'oscillateur harmonique amorti s'écrit :
$$ q\tilde{E}=q\tilde{E_0}e^{j\omega t}$$
$$\tilde{\vec x} = \frac{\frac{q}{m\omega_0}}{1+j\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}} \tilde{E_0}$$
$$\tilde{\vec p} = q\tilde{\vec x} $$
LA susceptibilité est une quantité complexe, on pose \(\tilde\chi_e = \chi_1-j\chi_2\) :
$$\chi_1=\frac{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}}{\left(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^2+\left(\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}\chi_0 \qquad \chi_2=\frac{\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}}{\left(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^2+\left(\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}\chi_0 $$Ici \(Q=10\), en réalité \(Q\) est de l'ordre de \(10^3\)à \(10^4\)
Dans un milieux "sans charges libres ni courant" : \( \rho\,,\,\vec j = 0\)
\(c\) est la célérité dans le vide, \(c/\sqrt{\epsilon_r}\) la vitesse dans le milieu
L'indice de réfraction est une quantité complexe !
$$ \tilde n^2 = \tilde\epsilon_r = 1 + \tilde\chi_e$$En général \(|\chi_e| << 1\) :
$$ \tilde n \approx 1 +\frac{\chi_e}{2} \quad\to\quad n_1-jn_2 = 1+\frac{\chi_1}{2}-j\frac{\chi_2}{2}$$